Remedial PAS

 Naswa Jovita Ramadhani

XI IPS 1

REMED PTS SMT 2

 Nama : Naswa Jovita Ramadhani

Kelas : XI IPS 1

Absen : 24

Integral Fungsi Aljabar

Nama : Naswa Jovita Ramadhani

Kelas  : XI IPS 1

Absen : 24

Apa Itu Integral Tak Tentu?

Integral merupakan anti turunan atau kebalikan dari turunan yang berfungsi untuk menentukan daerah, volume, titik pusat, dan lainnya. 

Kalau suatu fungsi f(x) dibalik menjadi f’(x) maka itu merupakan turunan. Nah, jika f’(x) dibalik lagi menjadi f(x), maka itu merupakan integral.

Sebelum ke rumus integral tak tentu, elo perlu paham konsep turunan nih. Gue kasih bayangin dikit tentang turunan secara umum.

y= X3 Turunan dari soal ini berapa?

dydx = 3×2 Setelah diturunkan seperti ini, lalu dikali silang.

dy = 3×2 dx 

d(X3) = 3×2 dx Bisa dilihat ya, y diganti dengan X3

Nah, dari sini bisa kita simpulkan ya cara mencari turunan bentuknya akan seperti ini nih.

Turunan dari X2 akan menjadi d(X2) = 2x dx

Oke, konsep turunan udah ingat lanjut ke materi integral tak tentu lagi.

Coba deh elo perhatikan antara turunan dan integral di bawah ini.

Turunan:

Sekarang kita balik, dikalikan silang ya:

df(x) = f’(x)dx

Kita tambahkan aja lambang integral (∫), menjadi:

∫df(x) = ∫f’(x)dx

∫f’(x)dx = f(x)+C

Pengertian integral tak tentu (indefinite integral) merupakan suatu fungsi baru yang punya turunan dari fungsi aslinya dan fungsi tersebut belum memiliki nilai pasti. Itulah mengapa dalam integral tak tentu ada konstanta (C).

Rumus Integral Tak Tentu

Oke, kita tahu kalau integral tak tentu berarti nilai atau batasannya belum pasti, sehingga ada nilai konstanta di dalamnya. Sekarang, mari kita definisikan seperti apa sih rumus dasar integral tak tentu? Perhatikan rumus di bawah ini.

Rumus Integral tak tentu: 

Supaya lebih mudah dipahami, gue langsung cemplung angka-angkanya ke rumus di atas ya.

Nah, jelas ya sekarang? Jadi, elo hanya perlu memasukkan angka-angkanya ke dalam template rumus di atas. Sampai sini udah mulai paham dikit-dikit lah ya, tapi sebelum buru-buru ke contoh soal integral tak tentu, simak dulu sifat-sifatnya.

Sifat-Sifat Integral Tak Tentu

Pengertian udah tahu, rumus juga elo udah tahu, kurang lengkap rasanya kalau kita gak mengenal sifat-sifat dari integral tak tentu. Berikut adalah sifat-sifat integral tak tentu:

Contoh soal Integral:

Soal 1:

Pembahasan:

Dalam soal ini, batas atas adalah 1 dan batas bawah -2. Tahap pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan integral fungsi 3x2 + 5x + 2 menjadi seperti di bawah ini.

Setelah kita mendapatkan bentuk integral dari fungsi tersebut, kita dapat memasukkan nilai batas atas dan bawah ke dalam fungsi tersebut lalu mengurangkannya menjadi seperti berikut.

Hasil dari integral tersebut adalah 27,5.

Soal 2:

Diketahui turunan y = f(x) adalah = f ‘(x) = 2x + 3

Jika kurva y = f(x) lewat titik (1, 6), maka tentukan persamaan kurva tersebut.

Jawab:

f ‘(x) = 2x + 3.

y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x2 + 3x + c.

Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 hingga dapat di tentukan nilai c, yakni 1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.

Maka, persamaan kurva yang dimaksud yaitu:

y = f(x) = x2 + 3x + 2.

Soal 3:

Carilah hasil dari ʃ21 6x2 dx !

Pembahasan:

Jadi, hasil dari ʃ21 6x2 dx adalah 14.

Teknik  Pengintegralan Metode Subtitusi

Dalam menyelesaikan masalah integral tak tentu, masalah yang ada harus dibawa ke salah satu atau beberapa bentuk integrand yang telah dikenal. Dengan memasukkan atau mensubstitusi variabel baru yang tepat sehingga bentuk yang tadinya belum dikenal primitifnya berubah menjadi bentuk yang telah dikenal.

Contoh Soal Integral Beserta Jawaban dan Pembahasannya

1) Hitunglah integral dari 4x3 – 3x2 + 2x – 1 !

2. Tentukan integral dari (x – 2)(2x + 1) !

3. Diketahui fungsi y = f(x) memiliki f ‘(x) = 4x + 6. Misal kurva y = f(x) melalui titik (2, 8). Tentukan persamaan kurva tersebut.

DAFTAR PUSTAKA:

•https://www.zenius.net/blog/integral-tak-tentu

•https://www.seputarpengetahuan.co.id/2020/05/integral-tak-tentu.html

•https://gurubelajarku.com/contoh-soal-integral/

Turunan Fungsi Aljabar

Nama : Naswa Jovita Ramadhani

Kelas  : XI IPS 1

Absen: 24

Sub Bab:

a. Turunan fungsi aljabar & rumus turunan.

b. Persamaan garis singgung kurva yang menggunakan turunan.

c. Nilai stasioner & turunan ke-2.

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi atau juga bisa disebut dengan diferensial adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, contohnya fungsi f dijadikan f' yang mempunyai nilai tidak memakai aturan dan hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang dimasukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi. Lalu untuk pengertian turunan aljabar adalah perluasan dari materi limit fungsi.

Notasi turunan fungsi aljabar seperti berikut:

Seperti yang telah disebutkan di atas, jika turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi sehingga dapat didefinisikan seperti berikut:

•Rumus Turunan Aljabar 

Seperti yang telah disebutkan di atas, jika turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi sehingga dapat didefinisikan seperti berikut:

•Turunan Fungsi Pangkat 

• Turunan Hasil Kali Fungsi.

Bentuk dari fungsi kali adalah f(x) = u(x) . v(x), sehingga turunannya adalah f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x).

Contoh Soal:

• Turunan Fungsi Pembagian 

Contoh soal:

• Turunan Pangkat Dari Fungsi

Contoh soal:

•Turunan Trigonometri

Contoh soal:

•Persamaan Garis Singgung Kurva

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien -1/m dan melalui A(x1,y1)

Contoh Soal

 Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab :

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20 ⟶ y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

Persamaan Garis singgung

m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y - y1 = m(x - x1)

y - 8 = 4(x - 2)

y - 8 = 4x - 8

y = 4x ⟶ Persamaan garis singgung

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal m2 = - 1/4

Garis normal bergardien m2 = - 1/4 melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

 y - y1 = m2(x - x1)

 y - 8 = - 1/4(x - 2) kalikan 4

4y - 32 = -x +2

x + 4y = 34 ⟶ Persamaan garis normal

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik (-1, 1)!

Jawab:

Cari gradien dari kurva y dengan menggunakan turunan pertama. m = y’

m = f '(a)

= 2x

m = 2(-1)

= -2

Maka persamaan garis singgung kurva dengan gradient m = -2 di titik (-1, 1) adalah

y -y1 = m(x -x1)

y -1 = -2(x-(-1))

y -1 = -2x -2

y = -2x -1

Aplikasi Turunan

Setelah mempelajari tentang rumus-rumus turunan, Sobat Pintar juga perlu mempelajari mengenai penerapan turunan. Ternyata turunan juga bisa diterapkan dalam materi yang lain. Beberapa penerapan turunan fungsi, yaitu :

1. Gradien Persamaan Garis Singgung

Salah satu cara untuk membuat sebuah persamaan garis singgung adalah dengan menggunakan gradien atau kemiringan dari garis tersebut. Gradien suatu fungsi f(x) yang melalui titik A (a,f(a)) dapat ditentukan dengan menggunakan turunan dengan rumus: m = f’(a).

2. Kemonotonan Fungsi

Aplikasi turunan yang lainnya adalah menentukan kemonotonan suatu fungsi. Maksudnya, Sobat pintar dapat mengetahui suatu fungsi naik atau turun pada interval tertentu.

 3. Titik Stasioner 

Titik stasioner disebut juga titik kritis, titik ekstrim, atau titik balik. Titik stasioner merupakan sebuah titik pada kurva dengan gradien dari garis singgung kurva bernilai 0 (nol). 

Jika fungsi f(x) kontinu dan terdiferensial, maka f(a) dikatakan NILAI STASIONER dari f(x) jika dan hanya jika f’(a)=0.

4. Nilai maksimum dan minimum fungsi

Sebelum menentukan nilai maksimum dan minimum, Sobat Pintar harus tahu cara menentukan titik maksimum dan minimum terlebih dahulu.

Titik maksimum atau minimum suatu fungsi f(x) pada interval [a,b] dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut:

1). Penuhi syarat nilai stasioner, yaitu f’(a) = 0 dan f’(b) = 0

2). Tentukan jenis stasionernya (titik maksimum, titik belok, atau titik minimum) dengan menggunakan turunan kedua fungsi tersebut, yaitu:

- Jika f’’(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f

- Jika f’’(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f

- Jika f’’(a) = 0 maka f(a) bukan nilai ekstrim fungsi f

3). Substitusi nilai variabelnya ke fungsi awal, sehingga diperoleh nilai maksimum atau minimumnya.

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi yang kontinu dan diferensiabel pada setiap titik di interval [a,b] dapat terjadi pada:

- Titik stasioner yang berada pada interval [a,b]

- Titik ujung interval

Dalam menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut:

1). Menentukan titik stasioner pada fungsi f(x) yang berada pada interval [a,b]

2). Menentukan nilai fungsi pada ujung interval, yaitu f(a) dan f(b)

3). Membandingkan nilai fungsi pada langkah 1 dan 2. Nilai yang terbesar adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil adalah nilai minimum

5. Kecepatan dan percepatan benda 

Wah, nggak nyangka ya, ternyata turunan juga digunakan dalam rumus Fisika yang sering kita jumpai, yaitu kecepatan dan percepatan.

Jika diketahui sebuah benda bergerak menempuh jarak s = f(t), maka kecepatan dan percepatan benda tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

- Kecepatan benda saat t detik (turunan pertama). Rumus turunan pertama yaitu:

- Percepatan benda saat t detik (turunan kedua). Rumusnya ialah:

Nah, setelah mengikuti pembahasan mengenai turunan, Sobat Pintar dapat mengerjakan latihan soal-soal turunan pada aplikasi Aku Pintar. Jadi, jangan lupa download aplikasi Aku Pintar di Play Store atau App Store untuk mempelajari materi lengkap mengenai turunan, ya!

DAFTAR PUSTAKA:

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/turunan-fungsi-aljabar-konsep-rumus-dan-aplikasi

 https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/turunan-fungsi-aljabar-pengertian-rumus-aplikasi-contoh-soal

 https://sumber.belajar.kemdikbud.go.id/repos/FileUpload/Garis%20Singgung%20Garis%20Normal-BB/Topik-2.html

Limit

Nama : Naswa Jovita Ramadhani

Kelas  : XI IPS 1

Absen: 24

Sub bab:

a. Limit fungsi aljabar.

b. Teorema limit.

c. Limit tak tentu.

a. Limit Fungsi Aljabar

Pada dasarnya, limit adalah suatu nilai yang menggunakan pendekatan fungsi ketika hendak mendekati nilai tertentu. Singkatnya, limit ini dianggap sebagai nilai yang menuju suatu batas. Disebut sebagai “batas” karena memang ‘dekat’ tetapi tidak bisa dicapai. Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a itu sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan riil. Maka fungsi f dapat dikatakan memiliki limit L untuk x mendekati a, sehingga ditulis

Namun, hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a| <δ maka |f(x)-L| <ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum.

Rumus Limit

Dalam ilmu matematika, konsep limit ini ditulis berupa: 

Maksudnya, apabila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a, maka f(x) akan mendekati L. Pendekatan x ke a ini dapat dilihat dari dua sisi, yakni sisi kiri dan sisi kanan. Nah, dengan kata lain bahwa x juga dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga nantinya akan menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Maka dari itu, diperolehlah pernyataan bahwa:

0 <|x-p|<δ⇔|f(x) – L|ε

Maksudnya, suatu fungsi dapat dikatakan memiliki limit apabila antara limit kiri dan limit kanan juga mempunyai besar nilai yang sama. Apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya juga tidak akan ada.

Sifat Fungsi Limit Aljabar

Apabila n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifatnya akan berupa:

b.Teorema Limit

Limit dalam bahasa umum bermakna batas. 

Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. 

Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta. 

Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.

Limit 0/0

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam

ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk sederhanakan fungsi tersebut. 

Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi, dan jangan lupa aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). 

Berikut adalah contohnya :

Limit ∞/∞

Bentuk limit ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :

Contoh:

Rumus cepat limit bentuk ∞/∞

•Jika m<n maka L = 0

•Jika m=n maka L = a/p

•Jika m>n maka L = ∞

Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. 

Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh dari penyederhanaan. 

Contoh:

Jika disubstitusikan x -> 1 maka bentuknya akan menjadi (∞-∞). 

Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi

Rumus Cepat limit tak hingga

Rumus cepat mengerjakan limit tak hingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak hingga pada bentuk pecahan. 

Untuk memperoleh nilai limit tak hingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.

Ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi:

1. pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut. 

2. pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. 

3. pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut. 

Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

Contoh:

Nilai pangkat tertinggi pada pembilang adalah 3. Nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.

b. Limit Tak Tentu

Fungsi limit tak hingga digunakan untuk menggambarkan keadaan limit x mendekati tak hingga atau dinotasikan dengan lim x → ∞ f(x). 

Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari suatu fungsi aljabar, terdapat dua cara yang umum digunakan. 

Berikut gue jelaskan lebih lanjut mengenai cara-cara tersebut dan juga contoh soal limit fungsi tak hingga dan pembahasannya. 

Contoh Soal:

Contoh soal:

Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu

•Metode Substitusi

Perhatikan contoh soal berikut!

Tentukan nilai lim 2x2 + 5x→3

Penyelesaian:

Nah ketika ditanya berapa nilai limit untuk fungsi diatas ?

Kita menggantikan nilai x = 3 untuk variabel x pada 2x2, nah inilah yang dinamakan substitusi. Sehingga penyelesaian limit di atas secara subsitusi adalah :

lim 2x2 + 5 = 2.(3)2 + 5 = 23x→3

•Metode Pemfaktoran

Metode ini akan digunakan apabila fungsi-fungsi tersebut dapat difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. Perhatikan contoh berikut!

•Metode Merasionalkan Penyebut

Pada cara ketiga ini dapat digunakan jika penyebutnya berbentuk akar yang memang perlu untuk dirasionalkan, sehingga supaya tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikan contoh soal berikut!

•Metode Merasionalkan Pembilang

Pada cara ini, hampir sama dengan metode sebelumnya, yakni dapat digunakan jika penyebutnya berbentuk akar yang memang perlu untuk dirasionalkan, sehingga supaya tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikan contoh soal berikut!

DAFTAR PUSTAKA:

https://www.gramedia.com/literasi/limit-fungsi-aljabar/#:~:text=Apa%20Itu%20Limit%20Fungsi%20Aljabar,dekat'%20tetapi%20tidak%20bisa%20dicapai 

 https://gurubelajarku.com/limit-fungsi/ 

 https://www.zenius.net/blog/pembahasan-limit-fungsi-beserta-limit-menuju-tak-hingga

 https://www.gramedia.com/literasi/limit-fungsi-aljabar/