Setiap segi n beraturan bisa kita bagi menjadi n buah segitiga yang kongruen
Setiap titik sudut pada segi n beraturan bisa dilalui sebuah lingkaran, lingkaran ini disebut lingkaran luar segi n. Semuat titik sudut akan dilewati lingkaran (tidak ada yang tertinggal).
Menghitung luas segi n beraturan akan lebih mudah jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya
Setiap segi n bisa dibagi menjadi n buah segitiga yang kongruen seperti pada gambar di atas.
Selanjutnya kita ambil salah satu segitiganya
Besar sudut A adalah
Luas segitiga adalah
LΔ = ½ .R.R sin A
Luas segi n beraturan adalah
Ln = n. LΔ
Rumus ini merupakan rumus luas segi n beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya.
Bagaimana jika diketahui sisinya ?
Pertama kita cari dulu hubungan antara jari-jari lingkaran luar (R) dengan sisinya (a)
Dengan aturan cosinus maka
a2 = R2 + R2 — 2R.R cos A
a2 = 2R2 — 2R2 cos A
a2 = R2(2 — 2cos A)
Luas segi n :
Jadi luas segi n beraturan yang panjang sisinya a adalah
https://supermatematika.com/luas-segi-n-beraturan
Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran Dalam Segitiga
Sebuah lingkaran dapat sobat buat dalam sebuah segitiga. Caranya, buatlah garis bagi simetris dari masing-masing segitiga. Garis bagi adalah garis yang membagi sudut segitia tersebut sama besar (Bagaiaman cara membuat garis bagi akan kita bahas nanti). Dari titik perpotongan ketiga garis bagi tersebut dapat dibuat sebuah lingkaran. Titik potong ketiga garis bagiakan menjadi pusat lingkaran dan kelilingnya akan tepat menyinggung masing-masing sisi segitiga.
Jari-Jari Lingkaran Dalam
Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkarang yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 da 3.
Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII
——————- = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF)
——————- = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r)
——————- = 1/2 r (AB + CB + C)
——————- = 1/2. r. Keliling Segitiga (setengah keliling bisa dilambangkan dengan s?)
——————- = r. S
Jadi
L = r . S
r = L/S
jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan 1/2 kelilingnya. Sekarang yang menjadi masalah adalah bagaimana mencari luas segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang sobat bisa menggunakan rumus
Jadi rumus jari-jari lingkaran dalam menjadi:
dengan L = Luas Segitiga S = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a+b+c)
Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s. Baca Rumus Lengkap Berbagai Bentuk Segitiga.
Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar segitiga adalah lingkran yang dibentuk dari perpanjangan garis bagi tiga sisi segitiga dan kelilinya akan tepat menyinggung tiga titi sudut segitiga yang ada di dalamnya. Perhatikan gambar di bawah ini
Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a,b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).
Coba sobat perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB
∠CAD = ∠CTB = 90o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º)
∠ADC = ∠TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar)
You are here: Home/rumus matematika/ Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga
Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagung (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.
BC/CD = CT/AC CD (diameter) = BC x AC / CT CD (diameter) = a x b / CT……. (persamaan 1)
Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas
Luas ΔABC = 1/2 AB x CT 2 Luas ΔABC = AB x CT CT = 2 Luas ΔABC / AB CT = 2L/ c……..(persamaan 2)
Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1
CD = a x b / CT CD = a x b / (2L/c) CD = a x b x c / 2L
Jari-jari = 1/2 CD r = 1/2 CD = a x b x c / 4L
a,b,dan c = sisi-sisi segitiga L = luas segitiga
Itulah tadi sobat, rumus jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam sebuah segitiga. Jika ada kesulitan, silahkan tuliskan di kolom komentar di bawah. Dengan senang hati, kita akan bantu.
daftar pustaka : https://rumushitung.com/2014/12/22/rumus-jari-jari-lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/
Garis Singgung Lingkaran pada Persekutuan 2 Lingkaran
Ada dua jenis garis singgung lingkaran pada persekutuan dua lingkaran yaitu garis singgung persekutuan luar dan dalam pada dua buah lingkaran. Panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran pada dua jenis tersebut dapat dihitung dengan rumus pythagoras. Di mana diketahui pada rumus pythagoras menyatakan hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku.
Pada segitiga siku-siku terdapat dua buah sisi tegak dan satu buah sisi miring. Garis singgung persekutuan dua lingkaran merupakan salah satu sisi tegak pada segitiga siku-siku. Sedangkan panjang jumlah/selisih jari-jari menjadi sisi tegak yang satunya. Sisi miring segitiga merupakan panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan dua lingkaran. Tiga buah ruas garis yang merupakan panjang garis singgung, jarak dua pusat dua lingkaran, dan jumlah/selisih segitiga membentuk sebuah segitiga. Antara garis singgung persekutuan dua lingkaran dan garis jumlah/selisih jari-jari lingkaran selalu membentuk sudut siku-siku. Sehingga terbentuklah sebuah segitiga siku-siku yang hubungan ketiga sisinya sesuai dengan rumus pythagoras.
Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Dua buah lingkaran yang berpusat pada titik O dan P memiliki panjang jari-jari yang berbeda. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat O adalah R, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah r. Jarak kedua pusat pada dua lingkaran tersebut adalah OP. Terdapat sebuag garis yang menyinggung kedua lingkaran yaitu garis AB.
Gambar di bawah menunjukkan letak garis AB yang merupakan garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dari dua lingkaran.
Garis AB adalah garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran. Perhatikan bahwa panjang AB sama dengan panjang PP’. Sehingga dengan menghitung panjang PP’ secara otomatis dapat mengetahui panjang ruas garis AB. Di mana, garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.
Segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku memenuhi persamaan pada rumus Pythagoras. Sehingga dapat diperoleh persamaan P’P2 = OP2 ‒ P’O2 dengan P’O = OA ‒ BP = R ‒ r. Atau persamaan dapat juga dibentuk dalam bentuk P’P2 = OP2 ‒ (R ‒ r)2.
Dengan demikian panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar pada dua lingkaran dapat diperoleh melalui rumus garis singgung persekutuan luar berikut.
Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan.
Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran.
Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan antara P’O, P’P, dan OP dapat sesuai pada rumus Pythagoras yaitu P’P2 = OP2‒ P’O2. Karena PO’ = OA + BP = R + r maka bentuk persamaan dapat juga dinyatakan dalam P’P2 = OP2‒ (R + r)2
Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.
Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1 – Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah …. A. 6 cm B. 8 cm C. 9 cm D. 10 cm
Pembahasan:
Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.
Diketahui bahawa,
Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran: AB = 24 cm
Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang laidalah 8 cm.
Jawaban: D
Contoh 2 – Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Perhatikan gambar berikut!
Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah …. A. 12 cm B. 15 cm C. 17 cm D. 20 cm
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut.
Panjang jari-jari lingkaran besar: R = 10 cm
Panjang jari-jari lingkaran kecil: r = 5 cm
Jarak kedua pusat lingkaran: OP = 25 cm
Menghutng panjang garis singgung AB: AB2 = OP2 ‒ PC2 AB2 = OP2 ‒ ( R + r )2 = 252 ‒ ( 10 + 5)2 = 625 ‒ 225 AB2 = 400 AB = √400 = 20 cm
Jadi, panjang garis singgung AB adalah 20 cm.
Jawaban: D
daftar pustaka : https://idschool.net/smp/garis-singgung-lingkaran/
LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN CONSUNUS
Aplikasi trigonometri yang sering digunakan dikenal dengan aturan sinus, aturan kosinus, dan luas segitiga. Aturan sinus adalah aturan penting yang berfungsi menghubungkan sisi dan sudut segitiga. Aturan sinus dapat digunakan dalam segitiga apa pun dengan sisi dan sudut berlawanannya diketahui.
Sedangkan aturan kosinus menghubungkan ketiga sisi ke satu sudut. Aturan ini digunakan untuk menjelaskan hubungan antara nilai kosinus dan kuadrat panjang sisi pada salah satu sudut segitiga.
Aturan Sinus dan Aturan Cosinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, Aturan Sinus melibatkan fungsi sinus, sama halnya dengan Aturan Cosinus. Selain itu, luas segitiga ternyata dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan trigonometri, yaitu didasarkan pada besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya.
Sedangkan aturan luas segitiga digunakan untuk menentukan luas segitiga jika diketahui sudut apit dan sisi apit dari sebuah segitiga.
Selain aturan sinus dan kosinus, ada juga aturan lain dalam segitiga yang berkaitan dengan luas segitiga. Luas suatu segitiga sembarang dapat dihitung tidak hanya dengan rumus luas segitiga biasa. Namun juga dengan trigonometri.
Aturan Sinus
Terdapat aturan sinus yang perlu diketahui agar memudahkan penghitungan. Berikut rumusnya:
a / Sin A = b / Sin B = c / Sin C
Diketahui segitiga sembarang ABC seperti gambar di bawah ini:
Jawab:
Jika panjang sisi AB = c = 12 cm, dan sisi AC = b cm, diperoleh:
b / Sin B = c / Sin C
b / Sin 45 derajat= 12/Sin 60 derajat
b = 12 Sin 45 derajat / Sin 60 derajat = 12 . 1/2 . √2 dibagi 1/2 √3 = 12√2 / √3
Maka bentuk di atas akan menjadi:
𝑏 = 12√2 / √3 = 12√2 √3 / √3 √3 = 12√6 / 3 = 4√6
Maka, panjang AC = b = 4√6 cm
Aturan Cosinus
Aturan cosinus adalah salah satu aturan dalam trigonometri. Aturan ini menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai kosinus dari salah satu sudut dalam sebuah segitiga.
Aturan kosinus digunakan untuk menentukan besar salah satu sudut segitiga saat tiga sisi segitiga diketahui. Selain itu, aturan ini dapat digunakan untuk menentukan salah satu sisi segitiga saat diketahui dua sisi dan sudut apitnya.
Misalkan panjang AB = c cm; BC = a cm; dan AC = b cm. Jika panjang CD = x cm, panjang BD = (a – x) cm.
