Nama : Naswa Jovita Ramadhani
Kelas : XI IPS 1
Absen : 23
Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika. Dalam matematika, induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli.
Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :
1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).
Jenis Induksi Matematika
(a). Deret Bilangan
Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1).
Langkah 1
untuk n = 1, maka :
1 = \frac{1}{2}n(n + 1)
1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)
1 = 1
Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.
Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka:
1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)
Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ (k + 1)((k + 1) + 1)
Pembuktiannya:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ k(k + 1) + (k + 1) (dalam langkah 2, kedua ruas ditambah k + 1)
= ½ k (k + 1) +½ [2(k + 1)] . (k + 1) dimodifikasi menyerupai ½ k (k + 1))
= ½[k(k + 1) + 2(k + 1)] (penyederhanaan)
= ½ (k^2 + k + 2k + 2)
= ½ (k^2 + 3k + 2)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ (k + 1)(k + 2) (terbukti)
(b). Bilangan bulat hasil pembagian
Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa 5^{2n} + 3n - 1 habis dibagi 9.
Langkah 1
untuk n = 1, maka:
5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1
=5^2 + 3 - 1
= 27
27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.
Langkah 2
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:
5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1
= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1
= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1
kemudian (5^{2k}) dimodifikasi dengan memasukan 5^{2k} + 3k - 1.
= 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1
= 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27
= 25 (9b) - 72k + 27
= 9 (25b - 8k + 3) … akan habis dibagi oleh 9 (terbukti)
Soal 1
Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5.
Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:
Langkah Pertama
32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.
Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)
32k + 22k + 2
Langkah Ketiga ( = k + 1)
= 32(k+1) + 22(2k+2)
= 32k+2 + 22k+2+2
= 32(32k) + 22(22k+2)
= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2
= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)
Diperoleh:
10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5.
Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.
Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1
Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi).
= (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2.2n+1) – 1
= 2n+2 – 1
= 2(n+1)+1 – 1
Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.
Daftar Pustaka:
1. https://mamikos.com/info/contoh-soal-induksi-matematika-pljr/
2. https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/
